Sobacos ilustrados

Ayer me quedó dando vueltas en la cabeza el asunto de los infinitesimales, especialmente cómo una suma infinita de infinitesimales puede dar una cantidad finita, se me ocurrió preguntar a Gemini, que contesta muy bien las dudas matemáticas.

En resumen me dijo que los infinitesimales fueron un problema sin solución en el cálculo durante siglos, hasta que Karl Weierstrass inventó la definición formal del límite solucionando el asunto. A mi me pareció que esa explicación era una cuchufleta muy típica de los matemáticos, cuando están en un atolladero inventan una nueva definición y listo.

El concepto de límite me parece artificioso aunque sea muy conveniente, pero en fin, me seguía dando vuelta la cosa y me acordé del asunto ese de la carrera entre Aquiles y la tortuga. Pregunté entonces ¿la idea de infinitesimal se podría relacionar con la paradoja de la carrera entre aquiles y la tortuga?

La respuesta fue:  

Sí, la relación es directa y muy profunda: la paradoja de Aquiles y la tortuga es exactamente el mismo problema matemático que la suma de Riemann y la idea de infinitesimal, pero planteado 2.000 años antes de que existiera el cálculo.

Zenón de Elea concibió la paradoja para argumentar que el movimiento era una ilusión, basándose en lo que hoy llamamos una serie infinita.

La paradoja es así: Aquiles le da 100 metros de ventaja a la tortuga y corre 10 veces más rápido que ella. Para alcanzarla, Aquiles primero debe llegar al punto de partida de la tortuga (100 m). Durante ese tiempo, la tortuga avanzó 10 m. Aquiles corre esos 10 m, pero la tortuga avanzó 1 m más. Aquiles corre ese metro, y la tortuga avanza 0,1 m...

Zenón concluyó que como Aquiles debe recorrer un número infinito de intervalos de distancia, jamás podrá alcanzar a la tortuga. Pero por sentido común y experiencia sabemos que eso no ocurre. En la vida real Aquiles le gana fácil a la tortuga.

En fin, me fui a dormir más confundido que nunca. Y cuando me desperté se me había iluminado la ampolleta. 

El asunto que nos parece imposible e incomprensible es algo que vemos a cada rato: por ejemplo un segmento de recta numérica en cualquier sistema de numeración debería tener un largo infinito porque se puede dividir en infinitos subsegmentos, pero sabemos que no es así.

El problema es la idea que tenemos de "infinito", algo que no podemos manejar con nuestra lógica convencional, lo mismo que "infinitesimalmente pequeño" ¿y cómo lo solucionaron los matemáticos? Simple, inventaron un nuevo conjunto de números: los hiperreales.

Los hiperreales son el conjunto de los números reales (que creíamos que contenía a todos) más todos los infinitesimales, más todos los infinitos. ¿Que tal? Como de costumbre los matemáticos ante un atolladero inventan nuevas definiciones.

Lo más curioso es que los hiperreales se pueden ubicar en una recta numérica, igual que los demás, pero con la diferencia que es imposible visualizar o imaginarse esa recta. ¿Es entonces una cuchufleta inventar nuevas definiciones para sacarse de encima una paradoja?

Si y no, en sistemas matemáticos no porque los objetos matemáticos pueden no tener nada que ver con lo que consideramos "la realidad", son simplemente sistemas formales que deben cumplir con ciertas reglas para ser legítimos y aceptables.

En este caso los hiperreales se pueden ordenar, admiten jerarquía y se pueden hacer las cuatro operaciones entre cualquier número real n y un infinitesimal i, o un infinito I, y los resultados son bien lógicos, por ejemplo:

n+i=n, n+I=I, i*i= i de 2do orden... etc. Como se puede hacer todo eso los hiperreales pueden existir son matemáticamente "legítimos" por decirlo de alguna manera. 

Y no solo eso, sino que nos sirven para explicarnos muchas paradojas y contradicciones que aparecen cuando tratamos con cantidades tan mal educadas como los infinitesimales y los infinitos ¿qué mejor?.

Bueno, de todo este enredo, que en realidad no es tan enredado si lo vemos con atención, creo que he sacado una conclusión bien buena. 

Recuerdo que todos mis compañeros que estudiaron y aprobaron Cálculo 1 en 1974, y después el mismo curso en la universidad, ninguno que yo conociera se cuestionó nunca la definición de las integrales definidas y los límites, todos lo aceptaron como se acepta que el sol sale por un lado y se pone por el otro.

A nadie le molestaron las definiciones de límites o integral. La verdad es que el Cálculo 1 es una de las partes más fáciles de aprender de todas las matemáticas, no cuesta nada aprender la mecánica para derivar, integrar y sus variantes; algunas fórmulas, harta álgebra y listo.

Incluso muchos aprobamos todos esos ramos -con buenas notas- sin preguntarnos siquiera que diablos estábamos haciendo, solo nos aprendimos la mecánica ¡yo hasta fui ayudante de Cálculo II y ecuaciones diferenciales, sin entender los límites!

Pero siempre me molestó eso de no tener idea, de cosas que no me calzaban, no porque fueran complicadas, al contrario. Por ejemplo el cálculo vectorial puede ser complicadísimo, lo mismo el álgebra lineal, operar con eso es un parto, pero son complicaciones mecánicas, no de fondo.

He conocido a cientos de tipos con doctorados y todo eso -creo que no exagero al decir cientos- que se creen profundos conocedores de los métodos estadísticos, cuando son meros operadores mecánicos, que jamás tuvieron dudas sobre los fundamentos de lo que hacen.

Son unos completos burros, pese a todos los títulos que tengan, porque nunca tuvieron curiosidad por las cosas fundamentales, por las primitivas como dicen los pisiutucos. Un tipo que no tiene dudas ni espinas metidas en las cosas más simples es un tonto que no sabe que no sabe, un sobaco ilustrado de los peores.