La intuición puede ser contraintuitiva

Una pregunta curiosa a Gemini
Muchos años atrás leí un libro llamado "Teoría intuitiva de conjuntos" de Paul Halmos, donde explicaba la distinción entre una teoría intuitiva y una axiomática, me pareció que un enfoque axiomático que solo tuviese como requisito ser construida por raciocinios lógico-deductivos, que debían ser consistentes con los axiomas era un enfoque muy mecánico que impediría la creación de nuevos conceptos e ideas.

Los concepto realmente nuevos solo podrían surgir a partir de intuiciones no de un análisis ¿o no?

Aclaración de la pregunta
Para aclarar un poco el asunto, las teorías matemáticas son de dos clases:intuitivas y axiomáticas. Las teorías intuitivas usan imágenes, analogías, preferencias estéticas y cosas así. 

Las axiomáticas son construcciones puramente lógicas, como juegos imaginarios con reglas claras, que solo tienen por condición deducir -usando razonamiento lógico- principios generales (teoremas) en base a unas pocas "verdades evidentes" llamadas axiomas.

Intuitivos y formalistas
Todos los que hemos tomado cursos de matemáticas reconocemos esa diferencia, porque hay profesores, compañeros o nosotros mismos que somos más intuitivos que formalistas o axiomáticos y otros al revés. 

Los intuitivos suelen ser dispersos, ocurrentes y tienden a cuestionarlo todo, mientras los formalistas son super enfocados, aceptan las reglas -a veces tienden a confundirlas con "la verdad"-  normalmente los formalistas son los considerados "buenos para las matemáticas" y en cierto sentido lo son, porque esas habilidades son un don natural que tienen muy pocos, en cambio casi todos tenemos imaginación.

No copiaré toda la respuesta textualmente porque me molesta su estilo de redacción, pero básicamente me contestó que es un debate muy antiguo de las matemáticas y la epistemología.

"Ningún concepto matemático revolucionario nace mediante un algoritmo deductivo. Nace de una chispa intuitiva, de una metáfora visual, de una analogía física o de una corazonada estética. Si la matemática fuera solo una máquina de deducir, sería imposible explicar cómo se inventan nuevos campos de estudio. 

Las máquinas (o los sistemas formales puros) pueden deducir teoremas dentro de un sistema, pero no pueden decidir qué sistema vale la pena crear o qué problema merece ser investigado. Eso requiere pura intuición humana."  

Pero con la intuición no basta
También Gemini describe por qué las matemáticas necesitaron crear sistemas axiomáticos "La intuición humana es poderosa, pero a menudo es traicionera y está plagada de sesgos espaciales y lógicos. Cuando Georg Cantor desarrolló la teoría intuitiva de conjuntos basándose puramente en la intuición de qué era una "recolección de objetos", se topó con paradojas devastadoras (como la paradoja de Russell), que amenazaban con derrumbar los cimientos lógicos de toda la matemática".

De acuerdo a eso yo pensé entonces que tal vez se podría decir que en su origen las matemáticas son mayormente intuitivas y el formalismo actuaría sólo como un chequeo, más o mernos mecánico, para descubrir posibles contradicciones y entender más profundamente las intuiciones y sus debilidades. 

Gemini estuvo de acuerdo diciendo que la matemática en su origen fue 100% intuitiva y empírica, creada para resolver problemas reales inmediatos, pone como ejemplo los primeros desarrollos de la geometría, el cálculo y otros que funcionaron durante siglos sin que tuvieran un soporte lógico riguroso, simplemente funcionaban.

Pero siglos después tuvo que aparecer el formalismo para ordenar, detectar fallas no evidentes y limpiar contradicciones, entre otras cosas. Algo que ya había hecho Euclides siglos atrás en la geometría con los "Elementos".

Gemini cita una frase muy buena de Poincaré "La lógica es el instrumento de la demostración; la intuición es el instrumento de la invención.".

La matemática no es el "lenguaje de la naturaleza"
Ahora hay que tener mucho cuidado con esto porque las demostraciones en matemáticas -los teoremas- no tienen valor de verdad, simplemente dicen que a partir de cierto conjunto de axiomas y haciendo razonamientos consistentes (sin contradicciones) tienen cierto valor de verdad restringido a la aceptación de los axiomas.

En ese sentido, si algo está "matemáticamente demostrado" eso solo quiere decir que, dentro del sistema que usamos y sus axiomas, no aparecen inconsistencias, nada más, nada menos. Por eso la maravillosa Geometría Euclidiana no sirve cuando queremos aplicarla al estudio de la gravedad en física moderna.

Y por eso ningún sistema o teoría matemática representa a "la realidad" o a verdades absolutas, toda teoría matemática lo único que asegura es que dentro del sistema no encontraremos inconsistencias... y si lo llevamos lo suficientemente lejos, ni siquiera eso.

¿Pero y la física cuántica?
Como encontré esto muy interesante se lo comenté a mi amigo Tito Torres, que ha vivido alrededor de las matemáticas casi toda su vida, lo encontró muy interesante pero presentó un matiz muy inquietante, me dijo

"Interesante, fue Hilbert quien quiso axiomatizar todo el cuerpo de las matemáticas, pero Kurt Godel con sus dos teoremas de incompletud le derribó su teoría axiomática... y Hilbert lo acepto

Porque la IA esta resolviendo muchos problemas de matemáticas que el ser humano no podía resolver  ya que dentro del conjunto de los axiomas no se puede decir si el conjunto es verdadero o falso. Bertrand Russel señaló algo parecido: la fortaleza de las matemáticas es al mismo tiempo su gran debilidad,  la intuición a pesar de ser muy importante en el saber falla con la teoría cuántica que es totalmente contraintuitiva".

Esto golpeaba directo a mi idea, pero se me ocurrió lo siguiente: 

"Pero yo diría que el concepto de intuición como cosas de sentido común es demasiado limitado, muchas intuiciones podrían ser totalmente contraintuitivas y contra el sentido común como la idea de inercia de Galileo o muchas ideas de Einstein, que aún así también nacen de intuiciones, no de formalismo"

Con eso quedamos de acuerdo y el Tito me dijo "Excelenta la discusión tomacho  pregúntale como entra en todo lo que se ha dicho el entanglement que ya se habla de que el espacio tiempo y la relatividad general de Einstein (genialmente intuitivo con una mente preparada).

La física cuántica dice que esta equivocado y Bohm esta correcto con la no localidad, lo cual yo tengo mis dudas al respecto, ciertamente además de De Broglie, Einstein, Edta, también Schrodinger, todos Nobel, que nunca en el fondo aceptaron a la Escuela de Copenhague y fueron apartados de la física de corriente principal por Heisenberg, Pauli,von Newman que también eran genialmente intuitivos"

Bueno. la respuesta fue "El comentario de tu amigo físico es excelente, sumamente informado y toca uno de los frentes de batalla más apasionantes de la física teórica contemporánea..." 

Ahí la cosa se fue más a la profunda y entraron en una conversación de la que entendí poco y nada.

Mi conclusión de todo esto
En fin, lo que más me gustó de esta conversación es la idea que las mejores intuiciones pueden ser contraintuitivas, Tendemos a creer que la intuición sale de recombinar recuerdos y conocimientos que ya tenemos, en ese sentido sería solo una forma más rápida o abreviada, de pensar.

Pero es mucho más que eso. Yo creo que eso viene de nuestra imaginación que permite pensar en cosas que no existen o incluso no podemos imaginar visualmente por ejemplo y que chocan con nuestra experiencia y sentido común. ¿Cómo pudo pensar Galileo en el principio de inercia, negando que es "evidente" que todos los cuerpos tienden naturalmente al reposo a menos que una fuerza los mueva?

De aquí aparece una característica increíble de la imaginación humana: podemos intuir cosas que ni siquiera podemos imaginar, aunque la base de esa intuición esté en la imaginación. Hasta donde yo se, solo los seres humanos somos capaces de eso, ningún animal ni menos una máquina pueden hacerlo.

Creo que ese es uno de los ejemplos más lindos de la imaginación y de las intuiciones geniales. Incluso toda la física teórica moderna -aparentemente contraintuitiva- solo pudo ser concebida con geniales golpes de intuición,aplicando el sentido común jamás se le hubiese ocurrido a nadie.

Muchos han tenido intuiciones geniales: Ramanujan, Einstein, Feinman ¡los de la Teoría Cuántica, que es la que tiene menos sentido común de todas! ¿Cómo diablos se les ocurrió? Sepa Moya.

Los matemáticos se preocupan y se quejan porque con Inteligencia Artificial se están "resolviendo" problemas y demostrando conjeturas que llevaban siglos sin poderse demostrar. 

Yo no veo de qué se preocupan, eso es lo más normal porque todo lo que ha avanzado la IA en matemáticas ha sido en los campos de axiomas y formalismos.

No tiene nada de raro que eso se esté haciendo con la IA hoy, hace unos 150 años atrás tal vez era imposible que una persona común multiplicara o dividiera dos números de diez cifras o que sacara una raíz cuadrada exacta de un número de 20 cifras. Hoy un estudiante de secundaria con una buena calculadora lo hace.

La parte mecánica, formalista de las matemáticas con la IA seguramente va a ser cada vez más sencilla. Eso es solo una extensión del desarrollo de calculadoras y computadoras, que en lugar de números ahora pueden manipular el lenguaje y razonar conceptos muy abstractos.

Otra cosa es creer que algún maldito modelo de lenguaje tendrá alguna vez la capacidad de intuiciones geniales como la de Galileo o siquiera de intuiciones muy chantas como las mías. Creo que están a años luz para llegar a eso.