Refrito: matemáticas para dummies

 (Publicado originalmente el 26 de noviembre de 2005)
Ya me carrilié con la música, ahora leyendo el blog del Ivi League Hernando, me entusiasmé con otro tema que parece fome pero es super entretenido (siempre y cuando no tengas que dar pruebas): las matemáticas. 

Obviamente no soy matemático así es que cualquier error grosero, favor corregírmelo. La verdad es que esto lo escribí hace mucho tiempo, solo lo copio aquí porque creo que puede ser interesante para algunos.

Tal como la música clásica que al principio parece difícil y aburrida, las matemáticas esconden su belleza detrás de un árido aparataje de operaciones algebraicas, pero existe un aspecto estético que puede causar placer y adicción al que llega a entenderla. 

Muy lejos de dominar las matemáticas, yo solo alcancé a intuir una pequeña parte del asunto y si no seguí estudiando fue precisamente cuando me di cuenta que con mi escasa concentración nunca iba a ser bueno en el asunto. 

Igual quiero compartir algunas cosas lindas y entretenidas que existen detrás de la operatoria y la memorización de enredados procedimientos.

Intuición y formalismo: toda teoría matemática es intuitiva en sus fundamentos y formal en su desarrollo, casi todos podemos entender la parte intuitiva, ya que responde a realidades, observaciones, cosas que percibimos y –aunque no las entendamos claramente- podemos intuir.

El desarrollo formal en cambio, que consiste en sacar consecuencias de esas ideas intuitivas sin caer en contradicciones es casi siempre un asunto complicado. Es la parte “mecánica”, la más árida y fructífera de las matemáticas.

Tomemos por ejemplo la teoría de los números, Todos sabemos contar: 1,2,3,4 etc... es algo que aprendimos casi junto con hablar y se basa en ideas intuitivas muy comunes: mucho, poco, nada, más que, menos quedar debiendo, el todo y las partes de un todo. 

Así es como existen los números naturales (“todos”) y las fracciones (“partes de un todo”), existe la idea del cero (“nada”) y de quedar en deuda (“números negativos”), esas son las bases intuitivas de los números, cosas bastante simples para cualquiera de nosotros.

Sin embargo al formalizar la teoría tenemos consecuencias extrañas y extremadamente complicadas ¿cuántos números reales existen? “infinitos” es decir tantos que por más que contemos siempre existirán mas. Sin embargo entre dos números, digamos entre el 1 y el 2 también existen infinitas fracciones. 

Es decir que existe un conjunto infinito de elementos y cada elemento en si contiene subconjuntos infinitos. Más aún, entre dos fracciones cualquiera, no importa cuan cerca estén también podemos encontrar infinitos elementos, cosa que va en contra de nuestra experiencia y de nuestra idea intuitiva de “infinito”. 

He leído que Georg Cantor, el matemático que aportó mucho a formalizar la teoría de conjuntos se murió loco. No me extrañaría que en una especulación de ese tipo se haya pasado de revoluciones.

Geometría y álgebra: la geometría se dedica a las formas, el álgebra a las predicciones en base a igualdades. El método de la geometría es observar formas e idealizarlas para comprender sus “propiedades esenciales”, aquellas que no cambian entre elementos similares.

El álgebra en cambio se basa en el equilibrio, se trata de escribir igualdades y mantenerlas equilibradas, mientras se mantenga la igualdad podemos cambiar el orden de los elementos, bajo ciertas reglas, lo que nos permite “despejar” o aislar las incógnitas, es decir las cantidades que no conocemos. 

De este modo si tenemos una o más igualdades que contengan una o más cantidades desconocidas, podemos “manipularlas” (o sea cambiar su orden) para encontrar el valor de estas cantidades desconocidas en función de las que conocemos.

Gracias Pitágoras por c²=a²+b²: una muestra notable del poder predictivo de las matemáticas es que en la época de los griegos, ya fueron capaces de calcular el diámetro de la tierra “sin haberse movido de su escritorio” por la simple medición de una sombra. 

Esa es para mi una de las muestras más asombrosas del poder que se obtiene al formalizar una teoría matemática, en este caso el Teorema de Pitágoras, uno de los descubrimientos más útiles en la historia de la ciencia y tecnología.

El Teorema de Pitágoras c²=a²+b², permite conocer uno de los lados de un triángulo rectángulo cuando se conocen los otros dos. Nada muy impresionante en apariencia pero con una multitud de consecuencias para la ciencia, tecnología y la vida diaria.

Esa relación era conocida muchos siglos antes, creo que desde la época de los babilonios, pero la gracia de Pitágoras es que la formuló de manera formalizada y general, lo que no es poca cosa.

Con la teoría que se desarrolló en base al Teorema de Pitágoras, la trigonometría (trigo=triángulo, metría=mediciones), es posible resolver la mayoría de los problemas físico geométricos en un espacio de dos dimensiones.

Y con algunas modificaciones que la generalizan aún más (la trigonometría esférica) se pueden resolver los problemas en tres dimensiones o sea todo el espacio que podemos percibir con nuestros sentidos: ancho, alto y largo.

Una simple observación intuitiva, práctica, al ser formalmente desarrollada permite describir y predecir la mayoría de los problemas físicos, reales que podemos percibir con nuestra experiencia sensorial. 

La geometría plana, del espacio y la esférica, junto con la geometría analítica (es decir los métodos del álgebra aplicados a los problemas geométricos) nos entregan una herramienta de un poder inmenso para predecir acontecimientos futuros: la trayectoria de un proyectil, el movimiento de cualquier cuerpo, medidas de área, volumen y superficie, etc

Las consecuencias de un movimiento circular: cuando a un matemático (Descartes me imagino), se le ocurrió pensar en una partícula que gira en un círculo, y colocar un cuadrante de dos ejes que pasan por el centro del movimiento, nació la trigonometría. 

De allí a la genial idea de que cualquier curva o figura geométrica puede ser representada por una ecuación (geometría analítica) había solo un paso.

Aquí las consecuencias del Teorema de Pitágoras alcanzaron un poder enorme. Si consideramos la partícula girando, el ángulo y el triángulo que va formando con los ejes, el Teorema de Pitágoras que relaciona a un triangulo rectángulo con una ecuación y las relaciones entre los lados y los ángulos (seno, coseno, tangente, cotangente), tenemos las bases del aparato matemático más útil jamás creado.

La geometría está en todo: algo notable es que casi todos los problemas que estudian las ciencias duras terminan reducidos a cuestiones geométricas. 

La física, química y biología son, en sus niveles más fundamentales asuntos geométricos porque la materia se mueve, se asocia y se comporta de acuerdo a su forma. Por un lado la geometría estudia las formas y el álgebra “despeja incógnitas” es decir, predice. La combinación de ambas es una muy potente herramienta.

La geometría también parte de bases intuitivas muy simples: hay cosas derechas y otras chuecas, hay formas características en la naturaleza que pueden idealizarse: triángulos, cuadrados, pentágonos, etc. Hasta llegar a la circunferencia (un polígono con infinitos lados), también hay cubos, conos, etc. 

La parábola es la trayectoria natural de cualquier cuerpo que cae, eso es algo que podemos observar tirando una piedra, todos los fundamentos son ideas simples e intuitivas.

Pero también en la naturaleza existe multitud de formas que no son “puras” (en verdad no creo que existan formas rigurosamente ideales) ¿cómo tratar estas formas impuras como por ejemplo la trayectoria del vuelo de una mosca?. 

Bueno, un señor de apellido Fourrier inventó la famosa "transformada" que lleva su nombre y que permite representar cualquier curva como una suma de funciones trigonométricas. 

Así podemos tener ecuaciones que representan no solo a las formas puras e ideales sino también a las impuras, reales: esta transformación es una herramienta de enorme valor para representar, por ejemplo, los complicadísimos fenómenos ondulatorios, fndamentales en la naturaleza.

Formas y predicciones: geometría y álgebra; representar curvas y formas como ecuaciones nos permite predecir el futuro. Como conocemos la ecuación de la parábola podemos predecir exactamente la trayectoria de cualquier cosa que tiremos si conocemos las fuerzas que están actuando en el momento. 

Gracias a eso se pueden poner satélites en órbita y también se puede apuntar un cañón, entre muchas otras cosas útiles.

La suma infinita: pero a medida que tratamos de crear modelos (ecuaciones) más exactos vamos necesitando nuevos métodos: es lo que le pasó a Newton cuando trataba de modelar fenómenos más complicados, llegado un momento necesitó calcular áreas que no correspondían a ninguna de las formas para las cuales había método conocido.

Esto era típico en los fenómenos que incluían la aceleración, es decir de crecimiento no lineal. Con movimientos no acelerados era fácil porque las áreas encierran líneas rectas, pero ¿qué pasa cuando hay una parábola o cualquier otra función de grado 2 o superior? 

Teniendo una curva cualquiera Newton necesitaba saber cual era el área encerrada debajo de ella, como ni la geometría ni el álgebra clásicos le daban respuesta a esto tuvo que desarrollar el cálculo diferencial e integral.

La idea intuitiva del cálculo también es bastante simple: como la curva es “irregular” se trataba de sumar infinitos rectángulos de un ancho muy pequeño (infinitesimal) y de distinta altura. 

La operación algebraica para hacer esto no es tan sencilla, tampoco el desarrollo formal de los métodos, pero la idea fundamental, intuitiva sigue siendo simple: Una integral definida es una suma de rectángulos infinitesimalmente delgados.

Y la parte complicada: cuando empezaron a estudiarse los fenómenos electromagnéticos el asunto se complicó bastante. 

La verdad es que un campo eléctrico y otro magnético, esféricos, desplazados en noventa grados, y que a su vez avanza en dirección perpendicular a ambos es un asunto que ninguna persona normal se puede imaginar usando la intuición, entonces llegamos a un punto en que los fenómenos físicos ya no pueden ser imaginados sino que solamente representados matemáticamente. 

Surge el cálculo vectorial para representarlos, con conceptos que ya casi no tienen nada de intuitivo: gradiente, rotor y divergencia.

Peor aún en el estudio de las partículas subatómicas y de la física cuántica, donde los fenómenos pierden gran parte de su equivalencia con percepciones a las que estamos acostumbrados. Es lo que ocurre con la representación de partícula-onda, el principio de incertidumbre, los cuantos, etc. 

Estos ya no pueden ser imaginados sino solo representados –y manipulados- matemáticamente por una combinación de estadísticas con el cálculo tensorial. Por allí la cosa ya se pone peluda, y yo mejor no me meto.

Para ser un buen matemático: las condiciones que debe tener un buen matemático son contradictorias; por una parte debe tener facilidad con la operatoria mecánica, capacidad de concentración y habilidad para desenredar asuntos complicados. 

Por otra parte debe tener golpe de vista, intuición, capacidad para inventar, "ver" cosas que aún no entiende. 

Generalmente en los matemáticos predomina bien la parte mecánica o bien la intuitiva, solo los muy grandes tienen ambas simultáneamente, el mismo Einstein reconocía tener problemas de concentración y ser "muy lento" para entender las matemáticas que necesitaba en su trabajo, siempre trabajó con ayudantes para el desarrollo pesado.

Por eso la formación matemática exige un durísimo entrenamiento mecánico: se necesitan años de agrupar términos semejantes, factorizar, simplificar, despejar y reconocer ecuaciones típicas antes de poder entender el fondo del asunto. 

Igual que el atleta debe entrenar duro todos los días, un futuro matemático debe hacer lo mismo hasta desarrollar habilidades que nuestro cerebro no trae de fábrica. Me imagino que antiguamente debe haber sido todavía peor.

A mi me gustaría que me hubiesen enseñado matemáticas de manera distinta. Me vinieron a gustar demasiado tarde, después de años de memorizar y entrenarme en la aburridísima operatoria y mecánica algebraica. 

Creo que las matemáticas no debieran enseñarse con una aproximación lógica (casi cronológica) como se hace ahora, sino que debiera ir a saltos de modo de entregar una visión mucho más global e interesante, que haga ver que es algo que realmente vale la pena aprender., que motive a sacrificarse.

Me parece que el actual sistema solo entusiasma a los "mecánicos de nacimiento", los que cuando llega el momento de innovar se dan cuenta que han alcanzado su límite. 

Me gustaría pensar que a alguien que esté estudiando el ciclo básico de matemáticas en la universidad le sirviera esto que he escrito para tener una idea de adonde va la micro y darse cuenta que toda la aridez y sacrificio que requiere dominar la operatoria al final tienen su recompensa.